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@German Hola German! Totalmente entendible, de hecho por eso la derivada segunda la tuve que escribir en la tablet, y aún así no me entraba, y como me imaginé que muchos iban a enloquecer con esto hice la aclaración al final del ejercicio :S
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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3.
Suponga que $f:(0,5) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en $x_{0}=2$ dado por $$P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}$$
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor del origen para $\frac{1}{f\left(x^{2}+2\right)}$.
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor del origen para $\frac{1}{f\left(x^{2}+2\right)}$.
Respuesta
Vamos a arrancar definiendo la función \( g(x) \) como:
\( g(x) = \frac{1}{f(x^2 + 2)} \)
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Entonces, lo que necesitamos es el polinomio de Taylor de $g$ centrado en \( x = 0 \) y de orden 3. Sabemos que la "estructura" de ese polinomio que estamos buscando es esta:
\( T(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 + \frac{g'''(0)}{3!}x^3 \)
Empecemos entonces a buscar las piezas que nos faltan:
✅ \( g(0) \)
\( g(x) = \frac{1}{f(x^2 + 2)} \)
\( g(0) = \frac{1}{f(2)} \)
Ya calculamos \( f(2) \) en el primer item y vimos que \( f(2) = -2 \), por lo que:
\( g(0) = -\frac{1}{2} \)
✅ \( g'(0) \)
Arrancamos calculando la derivada de $g$. Atenti acá, hacela despacio, podés arrancar con regla del cociente y no te olvides regla de la cadena! Deberías llegar a:
\( g'(x) = -\frac{f'(x^2 + 2) \cdot 2x}{[f(x^2 + 2)]^2} \)
Evaluamos en $x=0$
$g'(0) = 0$
Seguimos avanzando...
✅ \( g''(0) \)
Ahora calculamos $g''(x)$, para esta derivada arrancamos primero aplicando regla del cociente, pero atenti cuando te toque derivar al "primero" y al "segundo", que ahí también vas a tener que usar regla del producto (para el numerador), además de regla de la cadena. Esto va a estar cuentoso (demasiado), así que lo voy a hacer en la tablet para que no te pierdas:
Qué cosa terrible. Lo bueno es que ahora cuando lo evaluamos en $x=0$ varios términos vuelan y nos queda esto:
$g''(0) = - \frac{2 f'(2) \cdot (f(2))^2}{(f(2))^4}$
$ g''(0) = -\frac{2 \cdot (-8) \cdot (-2)^2}{(-2)^4} $
$ g''(0) = -\frac{-64}{16} $
$ g''(0) = 4 $
Y honestamente quiero creer que es un error de la guía y no pretenden que el polinomio de Taylor sea de orden tressss! Nadie que quiera conservar su salud mental calcularía la derivada de $g''(x)$ a mano (yo seguro no lo voy a hacer y espero que vos tampoco jaja). Cortamos acá y cerramos en polinomio de Taylor de orden $2$, nos queda...
\( T(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 \)
\( T(x) = -\frac{1}{2} + \frac{4}{2}x^2 \)
\( T(x) = -\frac{1}{2} + 2x^2 \)
Consejo: Nunca vi un segundo parcial donde aparezca algo tan pero tan cuentoso, así que de verdad yo no me metería en calcular la derivada que faltó porque vas a enloquecer. Si te quieren hacer difícil el ejercicio de Taylor del parcial, probablemente la dificultad no venga por este lado de puras cuentas y derivadas, sino que te pongan algo que te haga razonar, estimar error y esas cosas.
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German
6 de junio 20:31
no lo pude seguir a este ejercicio no logro llegar a que g´me quede armada de igual forma y de ahi para lo que continua el ejercicio
Flor
PROFE
7 de junio 8:25
Si querés pasame la foto de cómo te quedó, capaz hay algún error en alguna derivada y lo vemos, pero posta que yo no enloquecería con este ejercicio y en este punto le metería a full a ejercicios de modelos de parcial... Debes rendir hoy no? Muchisima suerteeee
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