Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 7 - Aproximación polinomial

Anterior Siguiente
3. Suponga que f:(0,5)→Rf:(0,5) \rightarrow \mathbb{R} es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en x0=2x_{0}=2 dado por P3(x)=2+3x−2x2−14x3P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor del origen para 1f(x2+2)\frac{1}{f\left(x^{2}+2\right)}.

Respuesta

Vamos a arrancar definiendo la función g(x) g(x) como: g(x)=1f(x2+2) g(x) = \frac{1}{f(x^2 + 2)}

Entonces, lo que necesitamos es el polinomio de Taylor de gg centrado en x=0 x = 0 y de orden 3. Sabemos que la "estructura" de ese polinomio que estamos buscando es esta: T(x)=g(0)+g′(0)x+g′′(0)2!x2+g′′′(0)3!x3 T(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 + \frac{g'''(0)}{3!}x^3

Empecemos entonces a buscar las piezas que nos faltan:

✅ g(0) g(0) g(x)=1f(x2+2) g(x) = \frac{1}{f(x^2 + 2)} g(0)=1f(2) g(0) = \frac{1}{f(2)} Ya calculamos f(2) f(2) en el primer item y vimos que f(2)=−2 f(2) = -2 , por lo que: g(0)=−12 g(0) = -\frac{1}{2}

✅ g′(0) g'(0)

Arrancamos calculando la derivada de gg. Atenti acá, hacela despacio, podés arrancar con regla del cociente y no te olvides regla de la cadena! Deberías llegar a:

g′(x)=−f′(x2+2)⋅2x[f(x2+2)]2 g'(x) = -\frac{f'(x^2 + 2) \cdot 2x}{[f(x^2 + 2)]^2}

Evaluamos en x=0x=0

g′(0)=0g'(0) = 0

Seguimos avanzando...

✅ g′′(0) g''(0)

Ahora calculamos g′′(x)g''(x), para esta derivada arrancamos primero aplicando regla del cociente, pero atenti cuando te toque derivar al "primero" y al "segundo", que ahí también vas a tener que usar regla del producto (para el numerador), además de regla de la cadena. Esto va a estar cuentoso (demasiado), así que lo voy a hacer en la tablet para que no te pierdas:

2024-05-12%2019:43:18_4716496.png

Qué cosa terrible. Lo bueno es que ahora cuando lo evaluamos en x=0x=0 varios términos vuelan y nos queda esto:

g′′(0)=−2f′(2)⋅(f(2))2(f(2))4g''(0) = - \frac{2 f'(2) \cdot (f(2))^2}{(f(2))^4}

g′′(0)=−2⋅(−8)⋅(−2)2(−2)4 g''(0) = -\frac{2 \cdot (-8) \cdot (-2)^2}{(-2)^4} g′′(0)=−−6416 g''(0) = -\frac{-64}{16} g′′(0)=4 g''(0) = 4

Y honestamente quiero creer que es un error de la guía y no pretenden que el polinomio de Taylor sea de orden tressss! Nadie que quiera conservar su salud mental calcularía la derivada de g′′(x)g''(x) a mano (yo seguro no lo voy a hacer y espero que vos tampoco jaja). Cortamos acá y cerramos en polinomio de Taylor de orden 22, nos queda...

T(x)=g(0)+g′(0)x+g′′(0)2!x2 T(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2

T(x)= −12 +42x2 T(x) = -\frac{1}{2} + \frac{4}{2}x^2

T(x)= −12 +2x2 T(x) = -\frac{1}{2} + 2x^2

Consejo: Nunca vi un segundo parcial donde aparezca algo tan pero tan cuentoso, así que de verdad yo no me metería en calcular la derivada que faltó porque vas a enloquecer. Si te quieren hacer difícil el ejercicio de Taylor del parcial, probablemente la dificultad no venga por este lado de puras cuentas y derivadas, sino que te pongan algo que te haga razonar, estimar error y esas cosas. 
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
German
6 de junio 20:31
no lo pude seguir a este ejercicio no logro llegar a que g´me quede armada de igual forma y de ahi para lo que continua el ejercicio 
0 Responder
Flor
PROFE
7 de junio 8:25
@German Hola German! Totalmente entendible, de hecho por eso la derivada segunda la tuve que escribir en la tablet, y aún así no me entraba, y como me imaginé que muchos iban a enloquecer con esto hice la aclaración al final del ejercicio :S 

Si querés pasame la foto de cómo te quedó, capaz hay algún error en alguna derivada y lo vemos, pero posta que yo no enloquecería con este ejercicio y en este punto le metería a full a ejercicios de modelos de parcial... Debes rendir hoy no? Muchisima suerteeee
0 Responder