Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2025
PALACIOS PUEBLA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
3.
Suponga que $f:(0,5) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en $x_{0}=2$ dado por $$P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}$$
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor del origen para $\frac{1}{f\left(x^{2}+2\right)}$.
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor del origen para $\frac{1}{f\left(x^{2}+2\right)}$.
Respuesta
Vamos a arrancar definiendo la función \( g(x) \) como:
\( g(x) = \frac{1}{f(x^2 + 2)} \)
Reportar problema
Entonces, lo que necesitamos es el polinomio de Taylor de $g$ centrado en \( x = 0 \) y de orden 3. Sabemos que la "estructura" de ese polinomio que estamos buscando es esta:
\( T(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 + \frac{g'''(0)}{3!}x^3 \)
Empecemos entonces a buscar las piezas que nos faltan:
✅ \( g(0) \)
\( g(x) = \frac{1}{f(x^2 + 2)} \)
\( g(0) = \frac{1}{f(2)} \)
Ya calculamos \( f(2) \) en el primer item y vimos que \( f(2) = -2 \), por lo que:
\( g(0) = -\frac{1}{2} \)
✅ \( g'(0) \)
Arrancamos calculando la derivada de $g$. Atenti acá, hacela despacio, podés arrancar con regla del cociente y no te olvides regla de la cadena! Deberías llegar a:
\( g'(x) = -\frac{f'(x^2 + 2) \cdot 2x}{[f(x^2 + 2)]^2} \)
Evaluamos en $x=0$
$g'(0) = 0$
Seguimos avanzando...
✅ \( g''(0) \)
Ahora calculamos $g''(x)$, para esta derivada arrancamos primero aplicando regla del cociente, pero atenti cuando te toque derivar al "primero" y al "segundo", que ahí también vas a tener que usar regla del producto (para el numerador), además de regla de la cadena. Esto va a estar cuentoso (demasiado), así que lo voy a hacer en la tablet para que no te pierdas:
Qué cosa terrible. Lo bueno es que ahora cuando lo evaluamos en $x=0$ varios términos vuelan y nos queda esto:
$g''(0) = - \frac{2 f'(2) \cdot (f(2))^2}{(f(2))^4}$
$ g''(0) = -\frac{2 \cdot (-8) \cdot (-2)^2}{(-2)^4} $
$ g''(0) = -\frac{-64}{16} $
$ g''(0) = 4 $
Y honestamente quiero creer que es un error de la guía y no pretenden que el polinomio de Taylor sea de orden tressss! Nadie que quiera conservar su salud mental calcularía la derivada de $g''(x)$ a mano (yo seguro no lo voy a hacer y espero que vos tampoco jaja). Cortamos acá y cerramos en polinomio de Taylor de orden $2$, nos queda...
\( T(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 \)
\( T(x) = -\frac{1}{2} + \frac{4}{2}x^2 \)
\( T(x) = -\frac{1}{2} + 2x^2 \)
Consejo: Nunca vi un segundo parcial donde aparezca algo tan pero tan cuentoso, así que de verdad yo no me metería en calcular la derivada que faltó porque vas a enloquecer. Si te quieren hacer difícil el ejercicio de Taylor del parcial, probablemente la dificultad no venga por este lado de puras cuentas y derivadas, sino que te pongan algo que te haga razonar, estimar error y esas cosas.
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante🤖
¡Hola! Soy ExaBoti
Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar esta respuesta? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar este comentario? Esta acción no se puede deshacer.